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求（x-5）^n/n^0.5的收敛域

教育综合
2023-08-14 17:44:19

大一高数(X-5)n次项 —— 的收敛域。 n

因为第n项是（x-5)^n,它前面的系数是an=1, 根据级数收敛半径的判断P=lim(n趋于无穷大）(an)^(1/n)=1^(1/n)=1(这个书上也有结论和证明）所以收敛半径R=1/P=1. 则/x-5/<1即-1高数幂级数收敛问题幂级数Σ[n=(1,∝)] (x-5)^n/√n 根据达朗贝尔审敛法 lim[n→+∝] a(n+1)/an = lim[n→+∝] [ 1/√(n+1) ]/[ 1/√n ] = lim[n→+∝] √n/√(n+1) = 1 = 1/R 所以幂级数Σ[n=(1,∝)] (x-5)^n/√n的收敛半径R=1 所以当│x-5│<1，即4幂级数的 Σn=1 到∞ （x-5）^n / 根号n 的收敛区间为，简述思路即可，谢谢

先由公式求出收敛半径为1，再讨论两个端点的收敛性可得出收敛域是[4,6)。

求幂级数的收敛域

设Un=x^n/(n 5^n) Un+1=x^(n+1)/[(n+1) 5^(n+1)] 比值法 lim n→∞ |Un+1/Un| =lim |x^(n+1)/[(n+1) 5^(n+1)]/x^n/(n 5^n)| =lim |x| n 5^n/[(n+1) 5^(n+1)] = |x|/5＜1 收敛区间为(-5，5) 当x=5时，Un=1/n为发散的p级数当x=-5时，Un=(-1)^n (1/n) 根据莱布尼茨判别法，该级数收敛所以收敛域为[-5，5)