弯曲应变 试样跨度中心外表面上是哪个面

土力学压缩试验变形值怎么算

压缩试验是测定材料在轴向静压力作用下的力学性能的试验，是材料机械性能试验的基本方法之一。主要用于测定金属材料在室温下单向压缩的屈服点和脆性材料的抗压强度。

压缩模量压缩模量是指土在完全侧限条件下的竖向附加应力与相应的应变增量之比，也就是指土体在侧向完全不能变形的情况下受到的竖向压应力与竖向总应变的比值。压缩模量可以通过室内试验得到，是判断土的压缩性和计算地基压缩变形量的重要指标之一。土的压缩模量越小，土的压缩性越高。

压缩系数：

压缩曲线反映了土受压后的压缩特性，它的形状与土试样的成分、结构、状态以及受力历史有关。压缩性不同的土，其中，e-p曲线的形状是不一样的。假定试样在某一压力P，作用下已经压缩稳定，现增加一压力增量至压力Pz。

对于该压力增量，曲线越陡，土的孑L隙比减少越显著，表示体积压缩越大，该土的压缩性越高。压缩曲线的坡度可以形象地说明土的压缩性的高低。土体压缩系数是描述土体压缩性大小的物理量，被定义为压缩试验所得e-p曲线上某一压力段的割线的斜率。

压缩指数压缩试验所得土孔隙比与有效压力对数值关系曲线上直线段的斜率。

弯曲模量指的是什么？

弯曲模量又称挠曲模量，是指弯曲应力比上弯曲产生的应变。

材料在弹性极限内抵抗弯曲变形的能力，弯曲模量即弯曲应力与弯曲所产生的形变之比。弯曲性能是塑料材料重要的物理性能指标之一，弯曲模量是检测塑料材料质量是否达标的重要数据之一。弯曲模量也用于衡量某种材料的劲度。

弯曲模量的试验方法

弯曲模量的试验方法通常是将试样置于万能试验机支座上，并用载荷刀尖在支座中心施加一集中负荷，形成一定速率的三点式弯曲负荷。弯曲模量试验的适用样品包括：纸、纸板、芯层、硬纸板、瓦楞纸板、硬质泡沫塑料等。E为弯曲模量；L、b、d分别为试样的支撑跨度、宽度和厚度；m为载荷(P)-挠度(δ)曲线上直线段的斜率，单位为MPa。

以上内容参考：百度百科-弯曲模量

平面应变断裂韧度K_ⅠC的测试

本节内容主要来源于ISO12737：2005《金属材料平面应变断裂韧度K_ⅠC试验方法》和GB/T4161-2007《金属材料平面应变断裂韧度K_ⅠC试验方法》。

图7-1 断裂韧度K_C随厚度B的变化

根据线弹性断裂力学，带裂纹体裂纹尖端附近的弹性应力场强度可用应力强度因子K（MPa·m^1/2）来度量。对Ⅰ型（张开型）裂纹的断裂准则为：当应力强度因子K_Ⅰ达到其临界值K_C时，裂纹即失稳扩展而导致断裂。K_C可由带裂纹的试件测得，它代表材料抵抗裂纹失稳扩展的能力，称为“断裂韧度”。试验表明，材料的断裂韧度K_C随试件厚度B变化，如图7-1所示。在试件厚度连到某一定值B₀后，断裂韧度不再随厚度变化，此时则认为裂纹尖端附近的材料处于平面应变状态，其对应的断裂韧度值称为“平面应变断裂韧度”，用符号K_ⅠC表示。显然，K_ⅠC为一材料常数。

一、试件

图7-2为标准三点弯曲试样，S为梁的跨度，B、W为横截面的宽和高，a为裂纹长度，（W-a）为韧带宽度或称韧带尺寸。图7-3为紧凑拉伸试样。

图7-2 标准三点弯曲试样

1.主要尺寸

为满足平面应变和小范围屈服的条件，要求B、a、（W-a）满足下式：

岩石断裂与损伤

式中σ_s为材料的屈服强度，根据σ_s/E值的不同可求出试样的最小厚度B_min和裂纹的最小长度a_min，最小尺寸如表7-1所示，我国标准采用：a/W=0.45～0.55。

图7-3 紧凑拉伸试样

表7-1 试样的最小厚度B_min和裂纹的最小长度a_min

2.裂纹的制作

一般采用铣削加工或线切割，用交变载荷预制疲劳引发裂纹，应满足下列要求：

（1）符合尖裂纹的要求：疲劳裂纹长度3～5mm（至少不小于1.5mm）。

（2）预制疲劳裂纹长度在0.025a的最后阶段，疲劳应力强度因子最大值满足：K_fmax＜0.6K_ⅠC。K_fmax＜0.00032E（MPam^1/2）（避免载荷过大钝化裂纹尖端）。

（3）保证疲劳裂纹的扩展：疲劳应力强度因子幅度ΔK≥0.9 K_fmax。

二、测试原理

为了测定K_ⅠC值，需要对带有裂纹的试件进行拉伸或弯曲试验，使裂纹产生Ⅰ型扩展。而K_ⅠC就是裂纹开始失稳扩展的临界点处所对应的应力强度因子值。采用合适的含裂纹试件，在试验面上加载，其应力强度因子K_Ⅰ可概括为如下形式：

K_Ⅰ=F·f（a）

式中：F为载荷；a为裂纹长度；f（a）为与试件形式、外形尺寸、加载形式有关的a的函数。根据上式，应有

岩石断裂与损伤

式中：F_Q为临界载荷；a_Q为临界裂纹长度。显然，只要从试验中测定F_Q和a_Q，即可得到K_ⅠC。

在理想平面应变条件下，裂纹前缘处的材料处于三向拉伸应力状态，呈现良好的脆性。这时，只要裂纹一开始扩展，就会导致失稳断裂，也就是说，开裂点即为失稳点，临界裂纹长度a_Q等于初始的裂纹长度a。但是，对于工程平面应变条件而言，由于试件表面附近平面应力状态的影响，裂纹开始扩展后经过一个较短的稳定扩展阶段才失稳断裂，开裂点并非失稳点。为消除侧表面附近平面应力状态所造成的塑性影响以测得作为材料常数的K_ⅠC，应取开裂点作为临界点。但是，精确地测定开裂点是困难的，所以，在K_ⅠC试验方法中，对于明显地存在裂纹稳定扩展阶段的情况，取裂纹等效扩展2%所对应的点（条件开裂点）作为临界点来确定F_Q，而a_Q则近似地采用初始裂纹长度a。

三点弯曲试样，GB/T4161-2007推荐采用的应力强度因子计算公式为

岩石断裂与损伤

表7-2列出了三点弯曲试样在a/W=0.45～0.55时的f（a/W）值，可方便查用。

表7-2 三点弯曲试样的f（a/W）数值表

对于紧凑拉伸试样，应力强度因子由下式计算：

岩石断裂与损伤

表7-3列出了紧凑拉伸试样在a/W=0.45～0.55时的f（a/W）值。

表7-3 紧凑拉伸试样的f（a/W）值

续表

三、测试装置

不同试样的加载方法不同，三点弯曲试样的测试装置如图7-4所示，试验机为试样提供支承和载荷，载荷信号和引伸计信号通过控制器与计算机连接，可得到载荷与切口位移的关系曲线。

图7-4 试验装置示意图

四、实验步骤

1.试样制备

（1）裂纹面取向应严格按GB/T4161—2007标准进行。在实际构件中取样时，试件的裂纹取向应与构件中最危险的裂纹方向一致。

（2）试件厚度B可根据式（7-1）选择。

（3）取同炉批料加工2～3件常规拉伸试件，供测σ_s用，且必须和K_ⅠC试件同炉热处理。

（4）试件粗加工和热处理后，再进行精加工，其最后尺寸和表面光洁度严格按GB/T4161—2007规定执行。

（5）小试样用线切割机制出切口，切口根部圆弧半径小于0.08mm。

2.预制疲劳裂纹

为了模拟实际构件中存在的尖锐裂纹，使得到的K_ⅠC数据可以对比和实际应用，试件必须在疲劳试验机上预制疲劳裂纹。其方法是：先用线切割机在试样上切割8mm长的机械切口，然后在疲劳试验机上使试样承受循环交变应力，引发尖锐的疲劳裂纹，约为2mm。

将试件打磨一遍，去掉表面油垢。在中心机械切口两侧各7.5mm处划线，用以标记放在疲劳试验机上；分别在两侧的机械切口前沿2mm处划线，用以观察其后疲劳裂纹生长到此线。预制疲劳裂纹时，应仔细监测试样两侧裂纹的萌生情况，避免两侧裂纹不对称发展。

3.测定条件

（1）试件厚度应在疲劳裂纹前缘韧带部分测量三次，取其平均值作为B。测量精度要求0.02mm或0.1%B，取其中较大者记录。

（2）试件高度应在切口附近测量三次，取其平均值作为W，测量精度要求0.02mm或0.1%W，取其中较大者记录。

4.试验程序

（1）在试件上粘贴刀口以便能安装夹式引伸计，刀口外线间距不得超过22mm，安装夹式引伸计时要使刀口和引伸计的凹槽配合好。

（2）按图7-4安装三点弯曲试验支座，使加载线通过跨距S的中点，偏差在1%S，而且试样与支承辊的轴线应成直角，偏差在±2°以内。

（3）标定夹式引伸计。

（4）开动试验机，缓慢匀速加载，一般试验机速度为0.5～2mm/min，以使K_Ⅰ的增长速率不至太快，保证应力强度因子的增长速率在0.55～2.75MN·m^-3/2/s之间。加载至试样明显开裂，停机。记录载荷F和刀口张开位移V之间的曲线。

（5）取下夹式引伸计，开动试验机，将试样压断，停机取下试样。

（6）记录试验温度和断口外貌。

五、实验结果的分析及处理

1.裂纹失稳扩展时的临界载荷F_Q

由于试样厚度与材料韧性不同，试验所得F-V曲线主要有三种类型，它们分别对应于三种断口外貌（图7-5）。

图7-5 三种典型的F-V曲线

F_Q则由下述方法确定：在试验中自动记录载荷F随试件切口边缘（裂纹嘴）处两个裂纹表面的相对位移V的变化曲线，即F-V曲线，以对初始线性段斜率下降5%的割线与F-V曲线交点处对应的载荷F₅作为取得F_Q的依据。如果在载荷达到F₅曲线各点载荷均小于F₅，则取F_Q=F₅，可以证明，这样的临界载荷大致对应于裂纹产生2%的等效扩展，这种情况对应着试件表面附近的平面应力状态存在显著影响。如果载荷达到F₅前曲线各点对应载荷的最大值大于或等于F₅，则取这个载荷最大值作为F_Q，这种情况接近于理想平面应变状态。

简单地讲，从F-V曲线图上确定F_Q的方法是：先从原点O作一相对直线OE部分斜率减少5%的直线来确定裂纹失稳扩展载荷F_Q，直线与F-V曲线的交点为F₅，如果在F₅之前没有比F₅大的高峰载荷，则F_Q=F₅（图7-5曲线Ⅰ）；如果在F₅之前有一个高峰载荷，则取这个高峰载荷为F_Q（图7-5曲线Ⅱ和曲线Ⅲ）。

2.测定裂纹长度a

与临界载荷F_Q对应的裂纹长度a_Q，计算时可取初始裂纹长度a，直接从断后试样上量出。试样断裂后，可观察到裂纹长度沿厚度B方向呈弧状形，如图7-6所示。

为了能利用前述应力强度因子公式（公式中的a是对应着平直前缘裂纹的长度）计算试样的K_ⅠC，需要确定与试样的实际前缘裂纹相等效的平直前缘裂纹长度a。可取等效平直前缘裂纹长度：

岩石断裂与损伤

图7-6 裂纹前缘长度

式中：a₂、a₃、a₄分别为沿厚度方向B/4、B/2、3B/4处的裂纹长度。

3.计算条件断裂韧性K_Q并判断其有效性

将F_Q、a代入K_Ⅰ表达式中进行计算，得到的K_Ⅰ称为“条件断裂韧度”，记为K_Q。至于K_Q是否为该材料的K_ⅠC，需检查下面两个条件：

岩石断裂与损伤

若两个条件均满足，则所求得的K_Q即为材料的平面应变断裂韧度K_ⅠC。否则试验结果无效，须加大尺寸重新测试（一般取1.5倍大试样），直到两个条件均满足。

4.试验报告

一般的试验报告要求具有下述内容：

试样编号、类型、裂纹面取向；材料的原始状态和屈服强度；试样厚度B、宽度W等；预制疲劳裂纹的条件；裂纹长度值a₂、a₃、a₄；试验温度、相对湿度、用K_Ⅰ表示的加载速率；P-V曲线及有关计算；断口外貌特征；K_ⅠC的有效性条件或K_Q不能作为K_ⅠC的原因。

塑料拉伸模量和弯曲模量有什么区别？

1、定义不同

拉伸模量即拉伸的应力与拉伸所产生的形变之比；弯曲模量即弯曲应力与弯曲所产生的形变之比。

2、计算公式不同

拉伸模量（Tensile Modulus）计算公式如下：拉伸模量 (N/(m×m)) = f/S(N/(m×m))；

弯曲模量为σf2－σf1/εf2-εf1，单位MPa。

3、性质不同

拉伸模量（Tensile Modulus）是指材料在拉伸时的弹性。其值为将材料沿中心轴方向拉伸单位长度所需的力与其横截面积的比。

弯曲模量又称挠曲模量。是指弯曲应力比上弯曲产生的应变。材料在弹性极限内抵抗弯曲变形的能力。E为弯曲模量；L、b、d分别为试样的支撑跨度、宽度和厚度；m为载荷(P)-挠度(δ)曲线上直线段的斜率，单位为N/m²或Pa。

参考资料来源：百度百科-弯曲模量

参考资料来源：百度百科-拉伸模量

应力强度因子的确定

对于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端区域，应力分量可统一写成式（2-20）的形式：

岩石断裂与损伤

式中：f_ij（θ）为极角θ的分布函数，称为角分布函数；K_m表征了裂纹尖端附近区域应力场强弱程度，其中m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ得到K_Ⅰ、K_Ⅱ、K_Ⅲ，分别代表Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端应力场的强弱程度，称为应力强度因子（K因子），定义如下：

岩石断裂与损伤

式中自变量ξ如图2-4所示。

若已知应力场，则可用式（2-22）求应力强度因子：

岩石断裂与损伤

图2-4 裂纹尖端附近坐标

K的量纲为：［力］［长度］^-3/2；SI：N·m^-3/2（10^-6MPa·m^1/2）。应力强度因子的确定方法有解析法、数值法、实测法等，本节分别介绍应力强度因子的确定方法。

一、解析法

解析法又可分为复变函数法与积分变换法，复变函数法可利用Westergaard应力函数或Muskhelishvili法，主要解决二维问题。积分变换法可求解二维、三维问题。由于工程上受力构件的边界形状和边界条件都很复杂，所以求解偏微分方程组时边界条件很难精确满足，因此解析法只适用于物体几何形状比较简单、边界条件容易满足的问题。下面仅介绍常用的复变函数法。

考虑无限大平板受二向均匀拉应力，具有长度为2a的中心贯穿裂纹，由定义：

岩石断裂与损伤

取

岩石断裂与损伤

满足问题的全部边界条件，代入上式可得

岩石断裂与损伤

下面利用这种方法求解几个常见问题的应力强度因子。

1.图2-5所示“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹，裂纹表面上x=±b处各作用一对单位厚度的集中力P

由式（2-7）→∞，σ_x=σ_y=τ_xy=0。

图2-5“无限大”平板裂纹面上作用两对集中力

选取复变解析函数：

岩石断裂与损伤

边界条件：

a.b.处，裂纹为自由表面，σ_y=τ_xy=0。

c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为P。

经检验，解析函数Z满足三个边界条件。将z=ξ+a代入复变解析函数中，得

岩石断裂与损伤

2.如图2-6所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=b处作用一对单位厚度的集中力P

选取复变解析函数：

岩石断裂与损伤

3.如图2-7所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=±b范围内的裂纹面受均布荷载，集度为q

图2-6“无限大”平板裂纹面上作用一对集中力

图2-7“无限大”平板裂纹面上作用部分均布荷载

利用叠加原理，根据图2-5的结果可得

岩石断裂与损伤

岩石断裂与损伤

当整个表面受均布载荷时，如图2-8所示，b→a，则

岩石断裂与损伤

4.如图2-9所示，受二向均布拉力作用的无限大平板，在x轴上有一系列长度为2a，裂纹中心间距为2b的裂纹

图2-8“无限大”平板裂纹面上作用均布荷载

图2-9 二向均布拉力作用的具有系列裂纹的无限大平板

边界条件是周期的：

岩石断裂与损伤

在所有裂纹内部应力为零。即：y=0，，-a±2b＜x＜a±2b，σ_y=τ_xy=0。

所有裂纹前端σ_y＞σ。

单个裂纹时：

岩石断裂与损伤

又Z应为2b的周期函数，故

岩石断裂与损伤

引入变量ξ=z-a，得

岩石断裂与损伤

当ξ→0时，，

岩石断裂与损伤

岩石断裂与损伤

，称为修正系数，大于1，表示其他裂纹存在对应力强度因子的影响。若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（b≥5a），可不考虑相互作用，按单个裂纹计算。

对于宽度为W含中心裂纹的有限宽板受均匀拉力，应力强度因子修正系数也可按上述值近似计算，此时用W代替2b：

图2-10 受剪切作用的具有周期性裂纹的无限大平板

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5.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算

Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）：

岩石断裂与损伤

对于无限大平板中的周期性的裂纹，如图2-10所示，且在无限远的边界上作用处于平板面内的纯剪切力作用。

岩石断裂与损伤

引入变量：ξ=z-a，得

岩石断裂与损伤

同理，对于无限大板Ⅲ型周期性裂纹应力强度因子：

岩石断裂与损伤

6.深埋裂纹的应力强度因子的计算

深埋裂纹的计算模型是无限大体中的片状裂纹，1950年，Green和Sneddon分析了弹性物体的深埋椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，如图2-11所示，得到椭圆表面上任意点，沿y方向的张开位移为

图2-11 深埋椭圆片状裂纹

岩石断裂与损伤

其中：Γ为第二类椭圆积分。有

岩石断裂与损伤

1962年，Irwin利用上述结果计算了这种情况下的应力强度因子：

岩石断裂与损伤

在椭圆的短轴方向上，即，有

岩石断裂与损伤

此式为椭圆片状深埋裂纹危险部位的应力强度因子。当a≪c时，有

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当a=c时，为圆片状裂纹，此时

岩石断裂与损伤

7.半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算

工程上更多地遇到的是表面裂纹，常按照表面半椭圆裂纹考虑，但至今未得到严格的解析解，一般根据无限大体中椭圆片状裂纹的解经过修正近似处理。

（1）表面浅裂纹的应力强度因子：当a≪B（板厚）可简化为浅裂纹，这时可以忽略后自由表面对N点应力强度因子的影响，如图2-12所示，近似得到N处的应力强度因子。

图2-12 表面椭圆片状裂纹

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（2）表面深裂纹的应力强度因子：对于表面深裂纹，引入前后两个自由表面，使裂纹尖端的弹性约束减少，裂纹容易扩展增大。应力强度因子由下式确定。

岩石断裂与损伤

其中：M₁为前自由表面的修正系数；M₂为后自由表面的修正系数。

Paris和Sih给出的修正系数为

岩石断裂与损伤

式中：B为板厚；a为裂纹深度；c为裂纹长度。当a/c→0时，接近于单边切口试样，M₁=1.12。当a/c→1时，接近于半圆形的表面裂纹，M₁=1。

当a≪B时，M₂≈1，即浅裂纹不考虑后自由表面的影响。对于一般工程问题，表面裂纹最深点处的应力强度因子为

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二、数值解法

解析法适用于无限大平板中简单裂纹的情况，对实际构件及各种试样，当裂纹尺寸与构件或试样其他特征尺寸相比并不是很小时，应考虑自由边界对裂纹尖端应力强度因子的影响。对这类问题很难获得严格的解析解，常用数值方法求其近似解。常用的数值方法有边界配置（位）法、有限单元法、边界元法。这些方法都是通过数值分析求出裂纹尖端附近应力场或位移场的近似表达式，由定义建立应力强度因子的表达式。

1.边界配置法

边界配置法是将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件，但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定应力函数，然后再由符合边界条件的应力函数确定K_Ⅰ值。

边界配置法主要用于计算平面问题的单边裂纹问题，且只限于讨论直边界问题。下面以图2-13所示的三点弯曲试样为例进行说明。1957年Williams提出一用无穷级数表示的应力函数，称为Williams应力函数：

图2-13 三点弯曲试样

岩石断裂与损伤

该函数满足双调和方程：▽⁴ψ（r，θ）=0。

边界条件：裂纹左、右表面（θ=±π/2），σ_y和τ_xy均为零，上式满足。

在外边界上的边界条件的满足如下确定：在有限宽板的边界上选取足够的点，如图2-13所示，使这些点的边界条件满足，则可求出C_j。

为了计算方便引入量纲为一的量：

岩石断裂与损伤

其中：B为试件厚度；W为试件高度。

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对于Ⅰ型裂纹：

岩石断裂与损伤

在裂纹尖端附近，θ=0，r→0。

岩石断裂与损伤

又因为当θ=0时，cosθ=1，当j=1时与r无关，而当j=2，3，4，…，∞时与r有关，当r→0时都为零。

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利用边界条件确定D₁，取含裂纹三点弯曲试样的左半段为研究对象，取m个点分析，以2m有限级数代替无限级数精度足够。

岩石断裂与损伤

其中S=4W为标准试件，式（2-41）、式（2-42）为美国ASTM-E399-72规范建议的公式。

2.确定应力强度因子的有限元法

有限单元法以变分原理为理论基础，将连续体离散成有限单元来分析其变形和应力，然后进行整体分析求得受力物体的应力场和位移场。有限单元法能解决复杂几何形状和载荷情况比较复杂的裂纹体的应力强度因子。比较成熟的是奇异单元的应用。不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的。一些实验方法、解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算。

利用位移法求应力强度因子，如Ⅰ型裂纹：

岩石断裂与损伤

式中。

通过有限元法求出裂纹尖端附近的位移场，计算（r，π），然后外推到裂纹尖端，这种方法为外推法。

也可利用应力法求应力强度因子，这时先求应力场：，然后求当θ=0时的应力分量，即。

三、实测法

由于实际问题的多样性和复杂性，计算比较困难，特别是三维问题。对于弹塑性断裂问题、动态断裂问题常应用具有直观性和模拟性的实测法。常用的实则方法有柔度法、网络法、光弹性法、激光全息法、激光散斑法、云纹法等。其中光弹性法求裂纹应力强度因子的基本原理如下：

对于Ⅰ型裂纹，如已求得σ_x、σ_y、τ_xy，则可求出最大切应力，根据光弹性原理有

岩石断裂与损伤

式中：n为光弹性模型的条纹级数；f为材料的条纹值；d为试样厚度。将σ_x、σ_y、τ_xy代入上式得：

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由光弹性实验等差线和等倾线条纹图测出r_i、θ_i、n_i，求得，得出曲线，外推至r→0处有

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四、叠加原理及其应用

1.K_Ⅰ的叠加原理及其应用

线弹性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和。叠加原理适用于K_Ⅰ。

证明：

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设在F₁载荷作用下，有

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设在F₂载荷作用下，有

岩石断裂与损伤

由叠加原理有

岩石断裂与损伤

因此，计算复杂载荷下应力强度因子的方法：将复杂载荷分解成简单载荷，简单载荷作用下的应力强度因子可利用前述方法或查K_Ⅰ手册。

下面利用叠加原理求图2-14（a）所示铆钉孔边双耳裂纹的K_Ⅰ值。首先将图（a）分解为图（b）+图（c）-图（d）。

图2-14 铆钉孔边双耳裂纹的叠加原理计算

根据叠加原理：，因为，所以：

岩石断裂与损伤

其中可查应力强度因子手册。

岩石断裂与损伤

式中：D为圆孔直径；W为板宽度；a为双耳裂纹长度。

确定：

无限板宽中心贯穿裂纹受集中力P作用时：

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考虑有效裂纹长度：得

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有限板宽的修正系数：

岩石断裂与损伤

所以

岩石断裂与损伤

2.应力场叠加原理及其应用

应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力所致的应力强度因子。

如图2-15（a）所示为具有中心穿透裂纹的平板，在上下边界受均匀拉应力作用，将其分解为图（b）和图（c），图（b）为除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。因此图（b）问题是一般的弹性力学问题。它的解在研究裂纹尖端的应力奇异性时是可以不予考虑的。图（c）代表的问题是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。

图2-15 应力场叠加原理的应用

岩石断裂与损伤

在裂纹端部问题的意义上，图（a）等价于图（c）。因此可用无裂纹构件中裂纹位置处由于外力作用所引起的应力——“当地应力”求解各种受力情况下的应力强度因子。

对于Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，如图2-16所示，也可将在无穷远处（板的边缘）受载荷作用而裂纹表面应力自由的裂纹问题（问题A），转化为问题B与C的叠加。问题B相当于除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。问题C是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。因此在裂纹端部问题的意义上，问题A等价于问题C。

图2-16 叠加原理的应用

对于问题C三种型式的裂纹的解有共同的表达式，裂纹面上的边界条件为

Ⅰ型裂纹：

Ⅱ型裂纹：

Ⅲ型裂纹：

应力函数Z：

岩石断裂与损伤

应力强度因子K：

岩石断裂与损伤

问题C在地学中具有实际意义。在断层问题中，依据位移测量和地震波反演，可以推测断层面上的应力场，而远场应力状态至今还没有得到可靠数据。因此，由应力场可以推断出断层应力场和位移场的变化量，研究断层的动力过程。

计算各种裂纹体的应力强度因子是线弹性断裂力学中一项十分重要的任务。各种受力情况及不同裂纹位置的应力强度因子资料已编辑成手册。在中国航空研究院主编的《应力强度因子手册》中可查到大部分应力强度因子的数据，一般断裂力学教材中也附有常用应力强度表达式，故在此不再详述。