tr（XC），C可逆非正定，这是一个凸函数吗

如何证明一个函数为凸函数，谢谢

对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x)的符号来判断。

如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0，则f(x)f(x)是凸函数。

对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数。

可以从几何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上方，如图所示：从f(x1)f(x1)连一条线到右侧的虚线，利用三角形边的比例性质可以推出中间虚线与上面直线交点的值。

综上所述，凸函数的主要性质有：

1、若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf也是定义在S上的凸函数；

2、若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数；

3、若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数；

4、若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集。

以上内容参考百度百科-凸函数

什么是凸函数

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。 凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凸函数. 判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。（向下凸） 如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。 编辑本段性质 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如

什么是 凸函数 ？？？

凹函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凹的。 函数图形：弧段像∪形的，比如y=x^2的函数. 凸函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]<=[f(x1)+f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。 函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数. f(x)=lgx是凸函数,根据函数图象判断.一般开口向下的二次函数是凸函数,开口向上的二次函数是凹函数。

海森矩阵正定或半正定判断为凸函数,请问凸函数什么？

可以理解为海森矩阵就是多维度的二阶导，正定就是二阶导大于0，半正定就是二阶导大于等于0。

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。

Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。

总结如下：

举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

在凸优化中，目标函数必须是凸函数吗

其几何意义表示为：如果集合C中任意2个元素连线上的点也在集合C中，则C为凸集。其示意图如下所示： 常见的凸集有： n维实数空间；一些范数约束形式的集合；仿射子空间；凸集的交集；n维半正定矩阵集；这些都可以通过凸集的定义去证明。 凸函数的定义为： 其几何意义表示为函数任意两点连线上的值大于对应自变量处的函数值，示意图如下： 凸函数的一阶充要条件为： 其中要求f一阶可微。 二阶充要条件为： 其中要求f二阶可微，表示二阶导数需大于0才是凸函数。 按照上面的两个定义，如果f(x)=x^2肯定是凸函数，而g(x) = -x^2是非凸函数。也就是说开口向下的函数是