两个物体A'B从不同的高度静止释放，释放前A，B的高度之差h=2.mA物体下落h1=0.2m后
- 教育综合
- 2022-11-21 07:56:21
空间里A，B两点 质点P从A点释放后，沿什么样的轨迹运动使其到达B点所需时间最短
费马原理物理光学部分的内容如下
光始终选择空间中最快的路径（费马路径）。
虽然仅有一句话，但是由它可以直接得到折射定律，甚至整个几何光学的内容都可以由它推出。
我们看一下这句话是怎么起作用的。首先，在空气中，光速不变，那么从A点到B点必然是要走直线才是最快的，也就是说，费马原里可以推出，空间中光沿着直线传播。
再看折射，如图，如果黑色线代表界面，那么从上面物体A到下面物体B的路径是什么呢？
假设界面上的介质折射率为n1，界面下的为n2
那么，如何选择时间最短路径呢？
光在界面上的传播速度是V1=c/n1
界面下是V2=c/n2
假设入射角为a，折射角为b，显然满足
h1*tana+h2tanb=L
并且我们要求的是
t=(h1/cosa)/V1+(h2/cosb)/V2
的最小值。
这里我们为了化简简便，不使用h1h2
而是使用L被O点分成的两部分x和y
则上面的两个方程满足
L=x+y
t=sqrt(h1^2+x^2)/V1+sqrt(h2^2+y^2)/V2
将V1=c/n1
V2=c/n2
y=L-x
代入，得到
tc=sqrt(h1^2+x^2)n1+sqrt(h2^2+(L-x)^2)n2
对其求导，等于0时候就是tc的最小值。
此时解得
xn1/sqrt（h1^2+x^2）=yn2/sqrt(h2^2+y^2)
于是，我们有n1sina=n2sinb
就是折射定律。
费了这么多功夫，我们证明了，光在空间走的路径就是时间最短的路径。
那么，如果某个质点的速度也是在不同空间区域内不同的，那它的情况就和光一样，也就是它的路径满足光路的时候用时间最短。
例如下面一道题
一个人在搞铁人三项比赛，要从陆地上A点到河对岸的B点（就用我们刚刚搞光路的那个图吧，黑色界面就是河岸）已知他在水中的速度是陆地上的一半，求他在哪里下水到达B用的时间最少。
这里就可以直接用费马定理啦，水中速度是陆地上一般，就是说，可以认为水中的折射率是陆地上的两倍，从而得到sina=2sinb
然后再根据已知的h1h2和L解方程就可以得到B的坐标啦
其实用的就是类比，用光路（自动选择最短时间）来类比我们要解的问题（质点运到时间最短）
根据你的问题补充，我理解哦，这应该是最著名的最速降线问题。
题目是这样的
如果我们给一个光滑的轨道连接空间中不同高度的AB两点，然后让一个物体从较高的A点自由下落，问这个轨道是什么形状可以让这个物体在最短时间内到达B点。
百度百科上有解答，在我给出的参考资料里
然而，就像百科上说的，严格解必然牵扯到变分法。变分是大学经典力学里面才会学到的。
高中竞赛，一般是用费马原理来解
如果要用费马原理来解，要用到微分法
就像你说的，如果有重力，速度一直在变，那么怎么算呢？
很简单，我们把AB之间的空间划分成n个水平的层，当n很大，也就是每一层非常薄的时候，可以认为质点在这一层里是匀速运动的。
根据能量守恒律，可以知道，在降低了h高度后，其速度为sqrt(2gh)
我们把AB之间的高度差分成t份，如果平均分的话，每一层的厚度是h/t
在每一层结束时候的速度满足
vi=sqrt(2gih/t)
每一层开始的速度、结束的速度、中心的速度都可以用来作为着一层的速度，因为当t趋向无限大的时候，它们都是一样的。
那么好，最后一层的速度就是vt=sqrt(2gh)
假设最后一层的折射率是1，那么，第i层的折射率就是
sqrt(t/i)
好，下面是光学问题
假设在最后一层它的速度与垂直方向的夹角是a，设sina=z
可以知道，上一层的夹角的sin值是zsqrt(1-1/t)
上面第i层光线与竖直方向夹角的sin值是zsqrt(i/t)
好，最后水平方向列方程了
第i层的水平方向长度满足：Li=(h/t)tanai
=(h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
我们现在所需要知道的就是z
你可以用求和的方法求出z
就是对所有的Li求和，等于AB的水平距离。
当然，你也可以先把轨迹方程做出来，再确定其中的参数z
既然，t趋向于正无穷大，我们就可以有
h/t=dy
那么i/t=y/h
这里y以出发点A为原点，向下为正方向。
代入上面的Li=(h/t)tanai=(h/t)zsqrt(i/t)/sqrt(1-iz^2/t)
得到，dx=dyzsqrt(y/h)/sqrt(1-z^2y/h)
化简得到dx=zsqrt[y/(h-z^2y)]dy
好，积分就可以了。这里使用换元法
zsqrt(y/h)=sinb
则有y=(h/z^2)(sinb)^2
然后代入dx的表达式，不要忘记dy里的y也要代入的。然后，本来积分是从0到y，现在积分是从0到arcsin[zsqrt(y/h)]
积分出来就是x=(h/2z^2)(2b-sin2b)
在研究“物体的重力势能与哪些因素有关”的实验中，让两个质量相等的铁块A和B 从空中静止释放，撞击相同
（1）铁块的重力势能越大，则木桩陷进沙坑的深度越深．本题是把铁块的重力势能转化成木桩陷进沙坑的深度来比较各铁块重力势能的大小的．（2）由图可知，A、B两铁块质量相等，但B木桩陷入的更深，所以B的重力势能较大，故B的高度一定高于A的．
（3）实验通过控制铁块的质量相等而下落高度不同，应用了控制变量法；实验通过木桩陷入沙坑的深度比较铁块重力势能的大小，把重力势能的大小转化为木桩陷入沙坑的深度大小，应用了转换法．由实验可以得出：重力势能的大小与高度有关．
故答案为：（1）木桩陷入沙坑中的深度；（2）小于；（3）控制变量法和转换法；高度．
在某地同一高度同时由静止释放质量不同的两个物体，不计空气阻力，则两物体（ ）A．落到地面所用时间
两个物体都做自由落体运动，它们的运动的情况是完全相同的，所以它们的加速度相同，落到地面所用时间相同，故AC错误，BD正确．故选：BD．
