求该向量组的秩和一个最大无关组

求向量组的秩和一个最大无关组

解题方法：将行向量转置为列向量，构成矩阵B经过初等行变换为行阶梯形矩阵，求出矩阵的秩，秩就是最大无关组所含向量个数
根据的定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

上述所用定理证明

矩阵的秩等于它的列向量组的秩.设A=(a...an), R(A)=r, r阶子式D≠0，D所在的r列构成的nxr矩阵的秩为r，此r列线性无关;又因为A中所有r+1阶子式均为零，所以A中任意r+1个列向量构成的n×(r+1)矩阵的秩小于r+ 1,故此r+1列线性相关. D所在的r列构成A的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为r。A∧T的秩等于A∧T的列向量组的秩，而R(A∧T )=R(A)，A∧T的列向量组就是A的行向量组，所以矩阵的秩也等于它的行向量组的秩。

求下列向量组的秩和一个最大无关组

令矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，对该矩阵进行初等列变换，化成列阶梯形矩阵，过程如图。

由(2)式可得矩阵A的秩为3，即原向量组的秩为3。

(1)式的第二列、第三列是成比例的，因此对应的α2、α3是可以互相表示的。因此选取极大线性无关组时，α1、α4必选，α2、α3二选一。故极大无关组为{α1，α2，α4}或{α1，α3，α4}。

求向量组的秩和向量组的一个最大无关值。

进行初等行变换即可 1 0 3 1 -1 3 0 -1 4 2 14 0 r2+r1，r3-4r1 ~ 1 0 3 1 0 3 3 0 0 2 2 -4 r2/3，r3-2r2 ~ 1 0 3 1 0 1 1 0 0 0 0 -4 r3/-4，r1-r3 ~ 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 于是向量组的秩为3 而向量组的极大无关组是a1，a2，a4

求向量组的秩和它的一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示（计算过程）？

写成向量组即为矩阵 1 4 6 1 2 -2 2 2 2 -3 -1 1 -1 6 12 3 r3-r2，r2-2r1，r4+r1 ~ 1 4 6 1 0 -10 -10 0 0 -1 -3 -1 0 10 18 4 r2/-10，r1-4r2，r3+r2，r4-10r2 ~ 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 -2 -1 0 0 8 4 r1+r3，r2+1/2r3，r4+4r3，r3/-2 ~ 1 0 0 0 0 1 0 -1/2 0 0 1 1/2 0 0 0 0 于是极大线性无关组为r1，r2，r3 而r4= -1/2r2+ 1/2r3

求出该向量组的秩及其一个极大无关组并把剩余向量用极大无关组线性表示

解: (a4,a2,a1,a3)= [注意调换了向量的顺序] -1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 2 2 1 4 1 r4+2r1 -1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 2 0 3 6 3 r1-r2,r3-r2,r4-3r2 -1 0 -1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 r1+r3,r2-2r3,r1*(-1) 1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 所以向量组的秩为3, a1,a2,a4 是一个极大无关组 a3 = a1-a2-a4 满意请采纳^_^