曲线y=x²（x≥0），y轴与直线y=2x+3围成平面图形，图形绕x轴旋转一周得的旋转体的体积是多少

由曲线y＝x²（x≧0）及直线x＝0 y＝1围成的图形面积为

y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0联立得交点 A（2，4），直线x+y-6=0与y=0 交点 B（6，0） 作AC⊥ X轴于C ，曲线y2=8x(y>0)与X=2及y=0 的面积 S= ∫8X dx （积分上限 2 ，下限 0 ） =2√2* 2/3 X^3/2 =16 /3 又 S 三角形 ABC= 8 , 所以 所围成图形的总面积 = 8+16 /3=40/3≈ 13.33

曲线y＝x²和y＝根号x所围成的平面图形的面积等于多少？两者的相交部分绕x轴旋转而成的旋转体的体积

这两个函数互为反函数，关于y=x对称，交点在y=x上，交点坐标（0，0），（1，1） 围成的面积= ∫（0，1）（√x-x²）dx =[(2/3)(x^3/2)-x³/3]（0，1） =2/3-1/3 =1/3 绕x轴旋转体积V= ∫（0，1）（π(√x）²-π（x²）²）dx =π∫（0，1）（x-x^4)dx =π(x²/2-x^5/5)|（0，1） =π(1/2-1/5) =3π/10

曲线y=x²在x=2处的法线方程

解：切线斜率为y'=2x,k=4.经过点（2,4），法线斜率为k=-1/4，y-4=-(x-2)/4,y=-x/4+9/2

求曲线y＝x²和直线y＝x所围成的平面图行绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

解法一：（对x积分） 所求体积=∫<0,1>π(x²-x^4)dx =π(x³/3-x^5/5)│<0,1> =π(1/3-1/5) =2π/15； 解法二：（对y积分） 所求体积=∫<0,1>2πy(√y-y)dy =2π∫<0,1>[y^(3/2)-y²)dy =2π[(2/5)y^(5/2)-y³/3]│<0,1> =2π(2/5-1/3) =2π/15。

求曲线y＝x²,x＝y²所围成的图形绕y轴旋转所产生的旋转体体积

曲线 y＝x^2, x＝y^2 交于 (0,0), (1,1). 则 V =∫π(y-y^4)dy = π[y^2/2-y^5/5] = 3π/10