用数学归纳法证明：如下

用数学归纳法证明：

见解析

证明分两个步骤：一是先验证：当n=1时，等式成立； 二是先假设n=k时，原式成立。再证明当n=k+1时，等成也成立，再证明的过程中一定要用上n=k时的归纳假设 证明：⑴ 当 时，左边 ，右边 ，即原式成立 ----4分 ⑵ 假设当 时，原式成立，即 ----6分 当 时， 即当 时原式也成立，由⑴⑵可知，对任意 原等式都成立

数学归纳法为什么是对的?如何证明其正确性?

从严格的数学角度来说，数学归纳法是一个严格的数学定理，注意不是公理。它是可以在集合论的一系列公理下被证明的。证明如下：

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中：

第一步：验证n取第一个自然数时成立。

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

证明1：所有的马都是一种颜色。

首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

1, 2, 3……n, n+1。

对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色。

对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色。

由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立。

而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

合理性

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）。

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）。

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

以上内容参考百度百科-数学归纳法

怎么用数学归纳法证明

数学归纳法的过程分为两部分： （1）先证明n=1时命题成立，在实际操作中，把n=1代进去就行了，就像要你证明“当n+1时1+n=2成立” （2）假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立 你可以这样理解：第一部分证明n=1成立。绝大部分命题，n取任意非零自然数都成立，既然这样，先证最基本的n=1吧。 第二部分，既然当n=k成立时，n=k+1成立，那么，n=1已经证明成立了，n=1+1，也就是n=2时也会成立。n=2成立，按照惯例n=2+1，也就是n=3成立。按照惯例，n=3+1，n=4+1……都会成立，所以所有的自然数都能使命题成立。 你可以把第一部分当作一个坚实的基础，既然n取任意自然数

用数学归纳法证明下题

把 S1 + S3 + ... + S(2n-1) 记作 A(n) n = 1, S1 = 1 n = 2, S1 + S3 = 16 n = 3, S1 + S3 + S5 = 81 ... 猜测还是简单的，就是 n^4 数学归纳法证明： 首先对于 n = 1, A(n) = S1+...+S(2n-1) = 1 符合 然后假定对于 n 成立，那么我们来看对于 n + 1， A(n+1) = A(n) + S(2n-1) = n^4 + S(2n+1) 只要证明 S(2n+1) = (n+1)^4 - n^4, 数学归纳法证明就 ok 了。好，现在让我们看看 S(2n+1) 是什么东西： 首

用数学归纳法证明1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)

先证明引理：当0ln(1+x) 证明如下：构造函数y=x-ln(1+x) 则y'=1-1/(1+x)>0 故函数在(0,1]单调增 又y(x=0)=0 故当0ln(1+x) 则当k>1时 有1/k>ln(1+1/k)=ln(k+1/k) 用数学归纳法证明 1.当n=2时，左边=1+1/2 显然>ln3/2 故不等式当n=2时成立 2.设当n=k-1(k E N*,k>=3)时成立 当n=k时 左边>lnk+1/k>lnk +ln(k+1/k)=ln(k+1) 故当n=k时，不等式成立 3.由数学归纳法原理，对于所有n>1的正整数，不等式均成立。