用序列极限仍在集合当中，证明下列范数闭球（巴拿赫空间的子空间）是闭集
- 教育综合
- 2024-01-15 17:44:34
如何证明巴拿赫空间的任何有限维子空间都是闭的?
用到一个结论，有限维的赋范空间同构于n维欧式空间。 由于巴拿赫空间的任何有限维子空间也是赋范空间。 又因为有限维的赋范空间是代数同构于n维欧式空间，拓扑同胚欧式空间，而n维欧式空间是闭的。 因此是闭的。数学拓补
这个很难理解吗？度量空间已经很具体了。 对于这种问题实在想不清楚就回到n维欧氏空间上考虑。 1.通俗地讲，开集的所有点都是内部点。 2,3.闭集的定义通常有两种： 1)如果A是一个开集的补集，那么A称为闭集。 2)如果A包含A的一切聚点，那么A称为闭集。 这两种定义在度量空间里是等价的，第二种定义就是你所说的，不过这种定义依赖于“收敛”的概念，这在度量空间里面不是问题，但是在没有度量的时候一般就用前一种定义(没有度量时相应地也要调整开集的定义)。 但是你说的“开集就是他的对立面，集合A中至少存在一个序列的极限不属于A，则A为开集”是错的！ 你的意思是，如果一个集合不是闭集，那么它就是开集，这当关于lp空间子集的列紧的一个充要条件,充分性如何证明?
如下：
第一个条件得到在每个分量上都有界，因此不停取子列，最后取出子列的一个对角，得到一个子列，在上面每个分量都收敛，于是这些分量上收敛到的值构成一个数列，用第二个条件去证明这个数列属于lp，并且是这个子列的lp极限。
先取子列使第一分量收敛，再在这个子列中取一个子列使第二分量收敛，再在上面第二次取的子列中取子列使第三分量收敛，依次下去不停的取上面一步的子列的子列，使得依次去控制住一个分量使其收敛。
取对角的意思就是在这每步作出的子列中取一个元，使其下标越来越大。
这个极限序列属于lp确实用第一个条件足够了。当然，证明这个子列lp收敛到这个极限序列要用第二个条件。
在数学中， Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。
Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。
当空间维度是无穷而且不可数的时候（没有一个可数的基底），无法运用有限维或可数维度空间的办法来定义范数，但对于可积函数空间，仍然能够定义类似的概念。具体来说，给定可测空间(S,Σ,μ)以及大于等于1的实数p，考虑所有从S到域（或）上的可测函数。
考虑所有绝对值的p次幂在S可积的函数，从不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，两个p次可积函数的和，也是一个p次可积函数。
另外，容易证明；闵可夫斯基不等式的积分形式说明三角不等式对成立。满足这样条件的构成一个半范数，令成为一个半赋范向量空间。之所以是半范数，是因为满足的函数不一定是零函数。然而可以通过一套标准的拓扑方法从这个半赋范空间得到一个赋范空间。
对可测函数来说，几乎处处为零（在测度μ意义下）。所以几乎处处为0，而同时也是的一个子空间。设是关于的商空间中的某个元素可以看作是所有和函数相差一个中元素的函数构成的等价类。这样定义的空间是一个赋范向量空间，称为S上函数关于测度μ的Lp空间。称为函数的p-范数。
需要注意的是，Lp空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将Lp空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。
与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样。
一致范数与p-范数之间存在发关系：可以证明，L空间是完备的空间，也即是说是一个巴拿赫空间（完备赋范向量空间）。Lp空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分的相关收敛定理来完成。
邻域和聚点的意义是什么，如何理解，能用在哪里？
邻域的意思也就是一个极限区间，它以一个很小的区间（a-b,a+b）表示为点a的邻域，有些概念定义的使用范围只能在这个区间内才能成立。
b你可以看做是个无穷小，我们在求一个点的极限或者是一个函数在某个点是否连续时候，用的都是临域，从而考察这个点a的左极限和右极限。但实际解题过程中，不用那么繁琐的去考察他的临域，而是在条件成熟时直接带入了这个点a。
在拓扑学、数学分析和复分析中都有聚点的概念。在拓扑学中设拓扑空间(X，τ)，A⊆X，x∈X。若x的每个邻域都含有A \ {x}中的点，则称x为A的聚点。
在数学分析中坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集。给定点集E ，对于任意给定的δ〉0 ，点P 的δ去心邻域内，总有E 中点，则称为P 是 E的聚点（或叫作极限点）。
聚点可以是E中的点，也可以不属于E。此聚点要么是内点，要么是边界点。内点是聚点，界点是聚点，孤立点不是聚点。对于有限点集是不存在聚点的。聚点必须相对给定的集合而言，离开了点集E，聚点就没有意义。
在复分析中点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
以聚点为圆心，任意大的半径大ε>0画一圆，总有无穷多个点汇聚在该圆内。若聚点是唯一的，则聚点就是极限点。
扩展资料：
邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。
U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。
U2：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。
U3：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。
U4：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。更关键的，这样的邻域当且仅当它是X中的开集，这也是邻域公理为何等价于开集公理，从而可以通过它定义X上拓扑的原因。
开邻域和闭邻域
若x的邻域同时是X中的开集，称其为x的开邻域；若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。
结论
1 拓扑空间X，X的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。
2 拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核，当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
3 拓扑空间X，X的子集A和A’，A’是A的闭包，当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}
定义
任给
，存在无穷多个
满足
为复数序列
的一个聚点。
聚点与极限
有的序列可以有多个聚点。例如，实数序列
就有两个聚点1和-1.当序列的极限存在时，序列的极限是此序列的唯一聚点。
在实数序列
中，数值最大的聚点称为
的上极限，记作
数值最小的聚点称为
的下极限，记作
对于上述序列
上极限与下极限的概念在计算级数收敛半径时常会用到。
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 。
例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S 。
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
参考资料：百度百科-聚点百度百科-邻域
