如果一个初中生证明一元五次方程没有根式解，他的数学天赋如何？

五次方程为什么没有求根公式

五次方程为什么没有求根公式相关内容如下：

首先，这里所说的五次方程指的是一般的一元五次方程，即形如ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0的方程，为什么不是根式可解的。

首先来说一下什么是根式可解。如果方程xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an−1x+an=0的根可以通过其系数经过有限次的加、减、乘、除及开整数次方运算表示出来，则称该方程是根式可解的。

1、一元一次方程：

形如ax+b=0的方程，这个太容易了，它的根是x=−ba，我们甚至都不把它算作求根公式。

2、 一元二次方程：

形如ax2+bx+c=0的方程，它的求根公式我们也非常熟悉。但是这里，我们换一种求解方式。

根据代数学基本定理，我们知道一元二次方程有两个根。设其为x1,x2

将原方程两边同时除以a，得到x2+bax+ca=0。那么一定有如下的等式成立，

(x−x1)(x−x2)=x2+bax+ca=0；

这样就得到了如下的根与系数的关系，也就是我们熟悉的韦达定理，

x1+x2=−ba,x1x2=ca；

然后我们再构造出x1−x2就可以联立x1+x2解出两根了

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=b2a2−4ca

⇒x1−x2=±b2−4aca；

从而得到x1,x2=−b±b2−4ac2a。

3、 一元三次方程：

形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，这是一元三次方程的一般形式。还是两边同时除以a，把三次项的系数化为1。为了后面推导方便，将这个方程记为x3+ax2+bx+c=0，注意这里的a,b,c与一般形式方程中的a,b,c是不同的。

带入x=y−a3，

(y−a3)3+a(y−a3)2+b(y−a3)+c=0

⇒y3+(b−a23)y+2a327−ab3+c=0；

我们得到了一个关于y的不含二次项的三次方程。

同样为了简便，将其记为y3+py=q；

1650年，荷兰数学家赫德给出了如下解法，他巧妙地利用了和立方公式

和立方公式(m+n)3=m3+n3+3mn(m+n)；

将m+n看作y，3mn看作−p，m3+n3看作q，正好是上面方程的形式。

这样我们可以选取任意的两个数m,n，使得关于y的三次方程的根满足y=m+n，这样如果能解出m,n，就能求出方程的根。将y=m+n带入上面的方程

(m+n)3+p(m+n)=q

⇒m3+n3+3mn(m+n)+p(m+n)=q

⇒(p+3mn)(m+n)=q−(m3+n3)；

由于m和n是任意选取的，不妨令上式左右两边都等于0，

得到mn=−p3,m3+n3=q，

现在我们有了m3+n3，再构造出m3−n3就可以求出m3和n3了，跟解一元二次方程时构造x1−x2的方法是一样的：

(m3−n3)2=(m3+n3)2−4m3n3=q2+4p327，

于是m3=q2±q24+p327,n3=q2∓q24+p327，

因此y=m+n=q2+q24+p3273+q2−q24+p3273。

然而这才一个根，另外两个根丢在哪了呢？

实际上是在给m,n开三次方的时候丢掉了。

我们来考虑这个方程x3=1，根据代数学基本定理，它应该有3个根。

x3−1=0⇒(x−1)(x2+x+1)=0，

所以其中一个根是x=1，另外两个根是x=−1±3i，

一般记ω=−1+3i2，则ω2=−1−3i2，

所以方程x3=1的根应该是x=1,ω,ω2，

这样我们就能得出方程y3+py=q的三个根了，

分别是y1=m+n,y2=mω+nω2,y3=mω2+nω，

最后把m,n,ω通通代入，再把p,q替换成a,b,c的表达式，

我们就得到了形如x3+ax2+bx+c=0的三次方程的求根公式。

4、 一元四次方程：

为了方便，我们直接考虑形如x4+ax3+bx2+cx+d=0的四次方程。

代入x=y−a4，可以得到一个不含三次项的四次方程，

将其记为y4+py2+qy+r=0，

1637年，笛卡尔给出了如下方法，将这个四次方程拆成两个二次方程，

(y2+ky+l)(y2+my+n)=y4+py2+qy+r=0，

这样只要将k,l,m,n通过p,q,r表示出来，再解两个二次方程就可以得到四次方程的根。

将左边展开y4+(m+k)y3+(km+n+l)y2+(kn+lm)y+ln=0，

对比等式两边系数，可以得到如下4个等式，

m=−k

km+n+l=p⇒n+l=p+k2

kn+lm=q⇒n−l=qk

ln=r。

通过2、3两个等式可以得到2n=k2+p+qk,2l=k2+p−qk，

代入第4个等式，整理后可以得到

k6+2pk4+(p2−4r)k2−q2=0，

这是一个关于k2的三次方程，解出k2取其实数根，然后可以得到k,进而得到l,m,n，

最后解两个二次方程即可，每个方程两个根。

求一元五次方程无根式解的证明过程

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的

怎么证明5次以上方程无求根公式 思路怎样的

不是这么简单的,这个理论很复杂的. 这涉及到一个多项式的GALOIS群 还用到GALOIS定理: 一个多项式方程可用根式解的充分必要条件是GALOIS群可解. 一般的五次以上方程,GALOIS群不可解. 所以一般情况下,无根式解. 楼主啊,这个定理的证明很复杂的.需要很多抽象代数的知识,我怎么可能三言两语的说完呢? 首先我不是大哥,你弄错了. 其次,我理解,因为我们要学这门课程. 这个定理已经包含了五次以下的情况,五次以下的 GALOIS群都可解. 这个定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.这个定理没有问题. 或者这么说吧,首先假设它有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足

一元五次方程求根公式的早期研究

16 世纪，在意大利数学家塔塔利亚（Tartaglia）、卡尔达诺(Cardano)、费拉利(Ferrari)等人的努力下，用根式求解三次方程与四次方程的方法终获解决。这样，利用代数符号，无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求出它的一般解。于是，数学家们开始寻找一元五次方程的公式解法。虽屡遭挫折，但人们相信，五次方程的解就隐藏在某个角落。在随后三百多年，破解五次方程成了数学中最迷人的挑战之一，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石。可是毫无例外，他们都失败了。
五次及以上方程的根式解虽然没有找到，人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的是法国数学家拉格朗日（Lagrange）。1770 年，拉格朗日发表了《关于代数方程解的思考》，他讨论了人们所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次的方程是不可能发生的。拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而，经过顽强的努力之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战”。
一元五次方程不能用根式求解的第一个证明出现在意大利人鲁菲尼
严格的证明：
如果方程的次数 n≥5,并且系数a1,a2,…… ,an 看成字母，那么任何一个
由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。
这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就被阿贝尔“否定”的解决了。
阿贝尔证明了一般一元五次方程不能用根式解，也举例说有的方程能用根式解。问题是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底怎么来判断呢？阿贝尔没有给出证明。换句话说，阿贝尔没有完全解决一元五次方程的求根问题，遗憾的是，对于什么样的特殊方程能用根式解，他还未及得到的答案就因病去世了。
一元五次方程的可解性理论，19 世纪法国天才数学家伽罗瓦(Galois)完成
1830 年初，伽罗瓦向法国科学院提交一篇关于五次方程的论文，去竞争一项数学大奖。虽然论文中没有提供五次方程的解法，但却展示了伽罗瓦的数学天分，就连柯西（Cauchy）都认为很可能得奖。这篇文章交给科学院秘书傅立叶(Fourier)评审，不料傅立叶未及写出评审报告就去世了，此文下落不明。伽罗瓦也因参加学生闹事，被学校开除。不过，伽罗瓦仍然对数学倾注了极大的热情，他写出了将成为他最著名的论文“关于方程可用根式求解的条件”，于 1831 年 1月送交科学院。这是伽罗瓦希望被数学界承认的最后机会，但是三、四个月过了，仍然杳无音讯。这位受挫的数学天才参加了国民卫队，去保卫共和。结果两次被捕，第一次无罪释放，而第二次被判了六个月的监禁。获得假释不久，他陷入了与一位女人有关的恋情，于 1832 年 5 月 30 日清晨决斗身亡—他才 21 岁。
法国数学家刘维尔（Liouville）阅读了伽罗瓦的论文后，惊喜地发现伽罗瓦在论文中给出了代数方程可解性的最终判定，而且独创了一个崭新的数学概念：群。
伽罗瓦工作的核心部分是可解性判别准则：当且仅当多项式方程的群是可解群（伽罗瓦群），这个方程可用代数的方法求解。这一准则可用以下过程来简单描述。
第一步，确定方程的伽罗瓦群。多项式方程的 n 个根构成一个置换群，也叫做伽罗瓦群 G。
第二步，选取伽罗瓦群 G 的极大正规子群 G1，然后再选取 G1 的极大正规子群 G2，如此下去，最后一个必然是{I}。(注：子群 K 与母群 G 中任意元素可交 换，K 叫做正规子群)
第三步，构造合成指数列。设 G, G1, G2,…., Gr ,I 的各个群的阶数（即群的 元素个数）分别为：g, g1, g2 , …., gr ,1；那末每个正规子群在它前面子群中的指定理，有限群 G 的子群的阶是 G 的阶的因子，故合成指数列一定是整数。）
第四步, 伽罗瓦可解性理论：一个可解群是一个群，它的合成指数列中各个数全为素数。
据此可以列出 2 次到 7 次方程的合成指数列： 方程的次数 合成指数列 　　　　2 2 3 2, 3 4 2, 3, 2, 2 5 2, 60 6 2, 36 7 2, 2520 　　　　由上表格可以看出，当方程的次数大于 4 时，它的合成指数列中的项不全为素数。那么根据伽罗瓦可解性定理，该方程所对应的伽罗瓦群不是可解群，因而
由伽罗瓦可解性判定准则可知五次及以上方程没有根式解。
“五次方程”引出了华罗庚
1926 年 7 卷 10 期的上海《学艺》杂志上发表了一篇苏家驹的论文《代数的五次方程式之解法》，前文已述，这个问题已经由阿贝尔、伽罗瓦证明是不可解的，所以“苏文”与阿贝尔、伽罗瓦的理论相矛盾，必定是有错。华罗庚在阅读了苏家驹的文章之后，写信给《学艺》杂志指出“苏文”的错误。而《学艺》在1929 年 5 月出版的 9 卷 7 期上只刊载了一则简短的“更正声明”，承认“苏文”有误。
华罗庚对《学艺》这种半遮半掩的做法并不满意，他把质疑苏家驹论点的文章寄呈《科学》编辑部。不久，1930 年 12 月出版的《科学》15 卷 2 期上以“来件”的方式发表了《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》。华罗庚在论文的开头写道：五次方程经 Abel,Galois 之证明后，一般算学者均认为不可以代数解矣，而《学艺》7卷 10 号载有苏君之《代数的五次方程式之解法》一文，罗欣读之而研究之，于去年冬也仿得‘代数的六次方程式之解法’矣，罗对此欣喜异常，意为果能成立则于算学史中亦可占一席之地，惟自思若不将 Abel 言论驳倒，终不能完全此种理论，故罗沉思于 Abel 之论中，阅一月，见其条理精严，无懈可击，后经本社编辑员之暗示，遂从事于苏君解法确否之工作，与6 月中遂得其不能成立之理由。罗安敢自秘，特公之于世，尙祈示正焉。这段简短文字透露出两个重要信息，一是华罗庚曾经撰写了一篇“代数的六次方程式之解法”，但在精心研读阿贝尔的论文后，确信其“条理精严，无懈可击”；二是，在杂志社编辑的启发下，转向查考苏文，进而发现苏文中的“破绽”。有意思的是，华罗庚所说“本社编辑员”是《学艺》社的？还是“《科学》社的？由于华文刊登在《科学》，这段话又在文章的“篇首”，所以这个“本社”应当是《科学》杂志编辑部。其实，华罗庚与《科学》杂志已有姻缘。华罗庚的第一篇论文《Sturm 氏定理的研究》，就发表 1929 年 12 月出版的《科学》14 卷 14 期上。《科学》编辑部重视文章的质量，并不在乎作者的身份。华罗庚此文章只是对求代数方程实根数的 Sturm 定理做了简化，虽算不上重要发现，但有新意，还是被编辑部接受了。因此，正是《科学》不拘一格，以质选文，才使一位自学青年展露头角。熊庆来教授正是读了《科学》杂志这篇文章，发现了华罗庚。