为什么常系数n阶齐次线性微分方程的通解是指数函数

n阶常系数齐次微分方程的通解是什么

书上把解法写的很明确的 就把n阶微分方程当做一元n次方程 解出所有的解 实数a的就是e^ax 虚数b的就是c*sinbx+d*cosbx 当然如果复解 就把次数再提高

常系数齐次线性微分方程的解是什么？

常系数齐次线性微分方程的解是：

(1)如果特征根ri为ki重实根，则微分方程有ki个特解：

(2)如果特征根sk=αk+βki为mk重实根，则sk=αk-βki也为mk重实根，则微分方程有2mk个特解：

主要思路：把求解问题转换为求特征方程的问题，然后再代公式即可。这一块把以e为低的指数函数看作方程解的基础，对它进行一系列的变化。

微分算子法：

微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y。

于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式，F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)。

二阶微分方程通解 为什么时指数

因为做了一个代换: x=e^t，把微分方程变成了代数方程，解这个代数方程的解(这个代数方程称为Characteristic Eq)，所以解都是指数的形式。

各位dalao,求二阶常系数齐次线性微分方程为什么要利用到指数函数各阶导

相当于特征根为1,0 即特征方程为t(t-1)=0 t²-t=0 所以可作微分方程：y"-y'=0 因为这里线性无关的项只有1,e^x 另外两项都是这两项的线性组合

常系数齐次线性微分方程的解是什么？

常系数齐次线性微分方程的解法如下：

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为： y"+py’+qy=0 （1-1） 其中p，q为常数。 以r^k代替上式中的y（k）(k=0，1，2) ，得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为微分方程（1-1）的特征方程 按特征根的情况，可直接写出方程1-1的通解。

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。

若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。

齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程，因此简化求解的过程。

针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。

有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。

例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，截至2018年8月此问题仍尚未被证明。