24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线
- 教育综合
- 2024-07-15 17:44:35
(本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 两点，交 轴于点 ，已知抛物线的对称轴为 ．
| 小题1:解：（1）设抛物线的解析式为：  ，把  代入得： 解得  抛物线的解析式为 ，即 小题2:（2）存在．  由对称性可知， 点的坐标为  点坐标为 ，B点坐标为(3,0), 直线BC的解析式为  点在对称轴上，设 点坐标为 代入 ，求得 点坐标为（1，-2） 小题3:（3）证明：设圆的半径为  ，依题意有 把 的坐标代入 ， 整理得  ， 解得 （舍去） 所求圆的直径为 ． |
| 略 |
（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛
| (1) y 2 ＝2x (2)关键证明AB的中点到准线的距离等于AB的一半。 |
| 试题分析：解：(1)设抛物线y 2 ＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1. ∴y 2 ＝2x为所求抛物线的方程． (2)证明：设l AB 的方程为：x＝ty＋  ，代入y 2 ＝2x得：y 2 －2ty－1＝0，设AB的中点为M(x 0 ，y 0 )，则y 0 ＝t，x 0 ＝ .∴点M到准线l的距离d＝x 0 ＋ ＝ ＋ ＝1＋t 2 .又AB＝2x 0 ＋p＝1＋2t 2 ＋1＝2＋2t 2 ，∴d＝ AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．点评：求抛物线的方程，前提是设抛物线的方程，而设置抛物线可结合焦点，像本题通过画图，知道抛物线的焦点在x轴的正半轴上，因而可令抛物线的方程为y 2 ＝2px(p>0)（式子中的x 对应x轴，2px前面是正的对应正半轴）。第二题涉及直线与抛物线这两种曲线，当两者相交时，常常在联立方程组后，用到根与系数的关系式：  |
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-
（1）由x2-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，
得a＝?
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴此抛物线的解析式为y＝?
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC的解析式为y=kx+n（k≠0），把A，C两点坐标分别代入y=kx+n，
联立求得k=2，n=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2；
（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP1=FO=EP2=m．
∵AB=x2-x1=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
| DE |
| AB |
| CF |
| OC |
| m |
| 4 |
| 2?m |
| 2 |
解得m＝
| 4 |
| 3 |
∴点D的纵坐标是
| 4 |
| 3 |
∵点D在直线AC上，
∴2x+2＝
| 4 |
| 3 |
解得x＝?
| 1 |
| 3 |
∴D(?
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴P1(?
| 1 |
| 3 |
同理可求P2（1，0）．
②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3
∵P3D=P3E，∠DP3E=90°，
∴DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得
| DE |
| AB |
| CF |
| OC |
| 2m |
| 4 |
| 2?m |
| 2 |
解得m=1．
同①方法求得D(?
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴DG=EG=GP3=1．
∴OP3＝FG＝FE?EG＝
| 1 |
| 2 |
∴P3(
| 1 |
| 2 |
综上所述，满足条件的点P共有3个，
即P1(?
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
如有其他解（证）法，请酌情给分．
（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的右交点为点A，与y轴的 交点为点B，过点B作x
| 解：（1）由y=  （x 2 ―8x―180），令y=0，得x 2 ―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10， ∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分 在y= x 2 ― x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分∵BC∥OA，故点C的纵坐标为―10． 由―10 y= x 2 ― x―10，得x＝8或x＝0 ．即C（8，―10）且易求出顶点  ……………………………………………………3分于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．顶点坐标为  ……………4分（2）若四边形PQCA为平行四边形，  由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得  ………………………………………6分（3）设点P运动t秒，则OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．说明P在线段OA上，且不与 点O，A重合． ∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴  同理QC∥AF，故  即 ∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分 ∵点Q到直线PF的距离d＝10， ∴S △ PQF ＝  ??PF?d＝ ×18×10＝90．所以△PQF的面积总为定值90．…………………………………………………………9分 （4）故当  不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分当  时， 为等腰三角形．…………………………………………12分 |
| 略 |
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为
解答：
解：（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，
∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴
|
解之得：
|
∴抛物线的函数解析式为y＝
| 1 |
| 2 |
注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S△ABP=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴5S△ABP=2S△ABC．
5×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解之得：x′=
| 18 |
| 5 |
∴P（
| 18 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x0，y0）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x0|=2，即x0=±2．
当x0=-2时，
∴y0＝
| 1 |
| 2 |
∴Q1（-2，16）．
当x0=2时，y0＝
| 1 |
| 2 |
∴Q2（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y0|=2，即y0=±2．
当y0=-2时，有
| 1 |
| 2 |
∴Q3（4，-2）．
当y0=2时，有
| 1 |
| 2 |
解之得，x0＝4±2
| 2 |
∴Q4（4+2
| 2 |
| 2 |
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-2，16）、Q2（2，0）、Q3（4，-2）、Q4（4+2
| 2 |
| 2 |
（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x1，y1）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y1|=|x1|=r，即y1=±x1．
由y1=x1，得
| 1 |
| 2 |
解之得：x1＝5±
| 13 |
∴r＝5±
| 13 |
由y1=-x1，得
| 1 |
| 2 |
即x12?6x1+12＝0．
此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径r＝5±
| 13 |
