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24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线

(本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 两点，交 轴于点 ，已知抛物线的对称轴为 ．


小题1:解：（1）设抛物线的解析式为： ，
把 代入得： 　　解得
抛物线的解析式为 ，即 　
小题2:（2）存在．　 由对称性可知， 点的坐标为
点坐标为 ，B点坐标为(3,0),
直线BC的解析式为 　　
点在对称轴上，设 点坐标为 代入 ，求得 点坐标为（1，-2）　
小题3:（3）证明：设圆的半径为 ，依题意有
　把 的坐标代入 ， 整理
得 ，　解得 （舍去）
所求圆的直径为 ．

略

（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛

(1) y 2 ＝2x (2)关键证明AB的中点到准线的距离等于AB的一半。


试题分析：解：(1)设抛物线y 2 ＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.
∴y 2 ＝2x为所求抛物线的方程．
(2)证明：设l AB 的方程为：x＝ty＋ ，代入y 2 ＝2x得：y 2 －2ty－1＝0，设AB的中点为M(x 0 ，y 0 )，则y 0 ＝t，x 0 ＝ .
∴点M到准线l的距离d＝x 0 ＋ ＝ ＋ ＝1＋t 2 .又AB＝2x 0 ＋p＝1＋2t 2 ＋1＝2＋2t 2 ，∴d＝ AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．
点评：求抛物线的方程，前提是设抛物线的方程，而设置抛物线可结合焦点，像本题通过画图，知道抛物线的焦点在x轴的正半轴上，因而可令抛物线的方程为y 2 ＝2px(p>0)（式子中的x 对应x轴，2px前面是正的对应正半轴）。第二题涉及直线与抛物线这两种曲线，当两者相交时，常常在联立方程组后，用到根与系数的关系式：

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且x1，x2是方程x2-

（1）由x2-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，
得a＝?

2
3
，b＝
4
3
．（2分）
∴此抛物线的解析式为y＝?
2
3
x2+
4
3
x+2．
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC的解析式为y=kx+n（k≠0），把A，C两点坐标分别代入y=kx+n，
联立求得k=2，n=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2；

（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP1=FO=EP2=m．
∵AB=x2-x1=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
DE
AB
＝
CF
OC
，即
m
4
＝
2?m
2
．
解得m＝
4
3
．
∴点D的纵坐标是
4
3
．
∵点D在直线AC上，
∴2x+2＝
4
3
，
解得x＝?
1
3
，
∴D(?
1
3
，
4
3
)．
∴P1(?
1
3
，0)．
同理可求P2（1，0）．
②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3
∵P3D=P3E，∠DP3E=90°，
∴DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得
DE
AB
＝
CF
OC
，即
2m
4
＝
2?m
2
，
解得m=1．
同①方法求得D(?
1
2
，1)，E(
3
2
，1)，
∴DG=EG=GP3=1．
∴OP3＝FG＝FE?EG＝
1
2
，
∴P3(
1
2
，0)．
综上所述，满足条件的点P共有3个，
即P1(?
1
3
，0)，P2(1，0)，P3(
1
2
，0)．
如有其他解（证）法，请酌情给分．

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的右交点为点A，与y轴的 交点为点B，过点B作x

解：（1）由y= （x 2 ―8x―180），令y=0，
得x 2 ―8x―180=0，（x―18）（x＋10）=0，∴x＝18，x＝―10，
∴A（18,0）……………………………………………………………………………………1分
在y= x 2 ― x―10，令x＝0，y=―10，即B（0，―10）．……………………………2分
∵BC∥OA，故点C的纵坐标为―10．
由―10 y= x 2 ― x―10，得x＝8或x＝0 ．
即C（8，―10）且易求出顶点 ……………………………………………………3分
于是A（18，0），B（0，―10），C（8，―10）．顶点坐标为 ……………4分
（2）若四边形PQCA为平行四边形， 由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，
而PA＝18―QC＝t，故18―4t＝t，得 ………………………………………6分
（3）设点P运动t秒，则OP＝4t，QC＝t，0＜t＜4.5．说明P在线段OA上，且不与
点O，A重合．
∵QC∥OP，∴△QDC∽△PDO，∴
同理QC∥AF，故 即
∴AF＝4t＝OP．∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18，………………………………………7分
∵点Q到直线PF的距离d＝10，
∴S △ PQF ＝ ??PF?d＝ ×18×10＝90．
所以△PQF的面积总为定值90．…………………………………………………………9分
（4）故当 不存在等腰三角形△PQF．……………………………………10分
当 时， 为等腰三角形．…………………………………………12分

略

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为

解答：解：（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，
∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴

36a+6b+c＝0
?
b
2a
＝4
c＝6
，
解之得：
a＝
1
2
b＝?4
c＝6
，
∴抛物线的函数解析式为y＝
1
2
x2?4x+6．
注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S△ABP=
2
3
S△ACP得：S△ABP=
2
3
（S△ABC-S△ABP），
∴5S△ABP=2S△ABC．
5×
1
2
（6-2）（-x′+6）=2×
1
2
×（6-2）×6，
解之得：x′=
18
5
，
∴P（
18
5
，
12
5
）．
（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x0，y0）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x0|=2，即x0=±2．
当x0=-2时，
∴y0＝
1
2
(?2)2?4×(?2)+6＝16，
∴Q1（-2，16）．
当x0=2时，y0＝
1
2
×22?4×2+6＝0，
∴Q2（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y0|=2，即y0=±2．
当y0=-2时，有
1
2
x02?4x0+6＝?2，解之得x0=4．
∴Q3（4，-2）．
当y0=2时，有
1
2
x02?4x0+6＝2，
解之得，x0＝4±2
2
．
∴Q4（4+2
2
，2），Q5（4?2
2
，2）．
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-2，16）、Q2（2，0）、Q3（4，-2）、Q4（4+2
2
，2）、Q5（4?2
2
，2）．
（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x1，y1）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y1|=|x1|=r，即y1=±x1．
由y1=x1，得
1
2
x12?4x1+6＝x1，即x12?10x1+12＝0，
解之得：x1＝5±
13
．
∴r＝5±
13
．
由y1=-x1，得
1
2
x12?4x1+6＝?x1，
即x12?6x1+12＝0．
此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径r＝5±
13
．

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