ab是圆o的直径c是圆o上一点连接ac，bc直线mn过点c满足

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点C的直线与AB的延长线交于点P

（1）因为∠CAO+∠ACO=∠COB，而OA=OC，所以△AOC为等腰△，∠CAO=∠ACO 所以，2∠CAO=∠COB 又因为∠COB=2∠PCB，所以∠PCB=∠CAO，PC是⊙O的切线。 （2）因为AC=PC，所以△ACP为等腰△，∠A=∠P；由（1）得∠PCB=∠CAO 所以△AOC≌△CBP，BC=OC=OA，BC=AB/2 因为点M是弧AB的中点，所以∠NBM=∠BCM； 又因为∠M为公共角，所以△MBC∽△BNM，MB²=MN*MC 连接AM，因为AB为圆O直径，所以△AMB为直角△，因为点M是弧AB的中点，所以∠BAM=∠ABM 所以△AMB为等腰RT△，MB=（根号2/2）

如图，AB为圆O的直径，C为圆周上的一点

(1)证明：连CO,则，∠OCA=∠OAC

∵AB为直径

∴∠BCA=90°

∴∠CBA+∠BAC=90°

∵∠MCA=∠CBA

∴∠MCA+∠BAC=90°

又∵∠OCA=∠BAC

∴∠MCA+∠OCA=90° 即：∠MCO=90°

又因为，CO为圆O的半径

所以，直线MN是圆O的切线

（2）若DC=2倍根号3，∠B=60°

∵∠MCA=∠CBA=60°

所以，∠CAD=30°

所以，AC=2CD=4√3, AD=6

又因为，∠DCA=∠CBA

∠BCA=∠CDA=90°

所以，△ABC∽△ACD

所以，AB/AC=AC/AD

所以，AB=AC²/AD=(4√3)²/6=8

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC

解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切。理由如下： 连接OC， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA。∴OC∥AD。 ∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。 ∵OC为半径，∴MN是⊙O切线。 （2）∵CD=6， ，∴AC=10。 由勾股定理得：AD=8。 ∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。 ∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。 ∴ ，即 。 ∴AB=12.5。∴⊙O半径是 ×12.5=6.25。

试题分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，从而得OC⊥MN，根据切线的判定推出即可。 （2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可。

如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P，且AC=PC，∠BOC=2∠BCP。

（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．（3分） （2）证明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB， ∴∠COB=∠CBO， ∴BC=OC． ∴BC=12AB．（6分） 解：连接MA，MB， ∵点M是AB^的中点， ∴AM^=BM^， ∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM，

如图，已知AB为圆O的直径，点C在圆O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC，角COB=2角PCB

∵AC=PC ∴∠A=∠P ∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A， ∴∠PCB=∠A=∠P ∴∠ACO=∠PCB 因为∠ACB=90°所以∠PCO=90°即PC是圆O的切线 （2）因为∠A=∠P，∠ACO=∠PCB，BAC=PC 所以△ACO全等于△PCB 所以BC=CO 因为CO=1/2AB，所以BC=1/2AB （3）因为BC=1/2AB 所以，∠COB=60°，由于M是弧AB的中点，所以∠MOB=90° ∠M=15° MN=MO/cos15° 根据余弦定理cm=co+mo-2co*mocos∠moc=2+2-2*2*2cos150°