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设f为类函数，且z=f（x+y,x-y）,求dz和.

教育综合
2023-11-22 13:00:04

z=f(x,y)由f(x y,x-y)=x^2-y^2-xy确定，求dz

这个题目可换一种思维去做，

方法如下图所示，

请作参考，

祝学习愉快：

z=f(x+y,x-y),则dz=?求解答过程

dz=f1d(x+y)+f2d(x-y)=f1(dx+dy)+f2(dx-dy)=(f1+f2)dx+(f1-f2)dy。f1,f2代表二元函数f对其两个自变量的偏导数。

微分和全微分的区别在哪？

区分：
以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息, 那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.这是一个直接的概念.而所谓的全微分,则是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小. (你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).

拓展资料

全增量：
设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点P(x,y)P(x,y)的某邻域内有定义，则有P2(x+Δx,y+Δy)P2(x+Δx,y+Δy)为邻域内一点，P与P2P与P2的函数值之差称为函数在点PP对应于自变量增量Δx、ΔyΔx、Δy的全增量，记做ΔzΔz：

Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

全微分：

充分条件：
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数∂z∂x、∂z∂y∂z∂x、∂z∂y在点(x,y)(x,y)连续，那么该函数在该点可微分。
**(连续：多元函数的偏导数在一点连续是指：偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，且这个函数求偏导后是连续的，则称函数在某点连续)

必要条件：
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点x,yx,y可微分，那么该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数∂z∂x与∂z∂y∂z∂x与∂z∂y必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的全微分等于它的所有偏微分之和：

dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy=∂z∂xdx+∂z∂ydy

z=f(x,y)可微，且f(x+y,x-y)=x^2-y^2+2xy，则dz=？

延续“热心网友”的做法：令a=x+y, b=x-y，则有 x=(a+b)/2, y=(a-b)/2，而f(x+y,x-y)=x^2-y^2+2xy=(x+y)(x-y)+2xy，也即 f(a,b)=ab+2[(a+b)/2 * (a-b)/2]=1/2 * a^2 + ab -1/2 * b^2 也就是 z=f(x,y)=1/2 * x^2 + xy -1/2 * y^2 故 dz= (x+y) dx + (x-y) dy