如图,在正△ABC中,D,E分别为边AB,AC上的点,BD=2CE,

如图，在三角形ABC中，D、E分别为AB.AC上的点，且BD=CE.M、N分别是BE、CD的中点，

取BC的中点F，连接MF、NF 因为M、N分别是BE、CD的中点 所以MF∥AC，NF∥AB，MF=CE/2，NF=BD/2 又BD=CE 所以，MF=NF 所以，∠FMN=∠FNM 因∠FNM=∠APQ，∠FMN=∠AQP 所以，∠APQ=∠AQP 所以，AP=AQ

如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点。过MN

找到BC的中点H，连接MH，NH．如图： ∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=EC． ∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=BD． ∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；（3分） ∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA， 同理∠HNM=∠QPA． ∴△APQ为等腰三角形， ∴AP=AQ． 如果满意记得采纳哦！ 你的好评是我前进的动力。 (*^__^*) 嘻嘻…… 我在沙漠中喝着可口可乐，唱着卡拉ok，骑着狮子赶着蚂蚁，手中拿着键盘为你答题！！！

如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于

找到BC的中点H，连接MH，NH．如图： ∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH= EC． ∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH= BD． ∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；（3分） ∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA， 同理∠HNM=∠QPA． ∴△APQ为等腰三角形， ∴AP=AQ．（6分）

根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ．

已知:如图,D,E分别是三角形ABC的边AB ,AC上的点,且BD=CE,M,N是BE,CD的中点,求证:AP=AQ

取BC中点H,连接FH，HG分别交AB，AC于I，J， 且BD=CE,FG分别为BE,CD的中点，H为BC中点，所以：HF=HG=BD/2；即：三角形HFG为等腰三角形； 同时不难证明I，J为AB，AC中点，有角APQ=角JGQ=角HGF；同时：角IFP=角HFG=角AQP；即：角APQ=角AQP=角HGF=角HFG；即三角形APQ为等腰三角兄，所以AP=AQ。

如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O。

可以选择①③；①④；②③；②④． 选①③证明； ∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠EOB=∠DOC， ∴△EOB≌△DOC． ∴OB=OC． ∴∠OBC=∠OCB． ∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB， ∴∠ABC=∠ACB． ∴△ABC是等腰三角形．