如何用夹逼定理证明ln n / n (lim n->∞)=0
- 教育综合
- 2024-08-26 17:44:28
夹逼准则
夹逼准则就是通过放缩,证明结果成立。
这道题中中间是原式,左边是把原式中分母放大,于是整个式子变小,放缩的地方是把分子的1、2....n都变成n。右边同理,分母缩小,分式变大,放缩的地方是把1、2...n都变成1。
夹逼定理英文原名Sandwich Theorem。也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理,是判定极限存在的两个准则之一,是函数极限的定理。
拓展资料:
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件:
(1)当n>N0时,其中N0∈N*,有Yn≤Xn≤Zn,
(2){Yn}、{Zn}有相同的极限a,设-∞
则,数列{Xn}的极限存在,且当 n→+∞,limXn =a。
证明:因为limYn=a,limZn=a,所以根据数列极限的定义,对于任意给定的正数ε,存在正整数N1、N2,当n>N1时 ,有〡Yn-a∣﹤ε,当n>N2时,有∣Zn-a∣﹤ε,现在取N=max{No,N1,N2},则当n>N时,∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立,且Yn≤Xn≤Zn,即a-ε
什么叫夹逼定理?
简单的说:函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理。
英文原名Squeeze Theorem,也称夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理,是判定极限存在的两个准则之一。
一.
如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件:
(1)从某项起,即当n>n。,其中n。∈N,有Yn≤Xn≤Zn (n=1,2,3,……),
(2)当n→∞,limYn =a;当n→∞ ,limZn =a,
那么,数列{Xn}的极限存在,且当 n→∞,limXn =a。
二.
F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A
则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有
F(x)≤f(x)≤G(x)
则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即 A≤limf(x)≤A
故 limf(Xo)=A
简单的说:函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X,函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X,这个就是夹逼定理。
扩展资料:
应用:
1.设{Xn},{Zn}为收敛数列,且:当n趋于无穷大时,数列{Xn},{Zn}的极限均为:a。
若存在N,使得当n>N时,都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛,且极限为a。
2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限,间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
夹逼定理:
(1)当(这是的去心邻域,有个符号打不出)时,有成立
(2),那么,f(x)极限存在,且等于A不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法。
参考资料:百度百科--夹逼定理
如何证明n的n次方根的极限为1
先取对数ln,证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0
lim( ln( n^(1/n) ) ) = lim( [ln(n)] / n ) = lim ( [1/n] / 1 ) 分子分母同时取导数 = lim (1/n) = 0 所以:
lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1
扩展资料:
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A,但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中,
此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。
用夹逼定理证明
证: (1+2+...+n)/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(1+2+...+n)/(n²+1) [n(n+1)/2]/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<[n(n+1)/2]/(n²+1) (n+1)/(2n+2)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(n²+n)/(2n²+2) lim (n+1)/(2n+2) n→∞ =lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n) n→∞ =(1+0)/(2+0) =½ lim (n²+n)/(2n²+2) n→∞ =lim (1+ 1/n)/(求证n的n次方根的极限为1
先取对数ln,证明 lim( ln( n^(1/n) ) ) = 0
lim( ln( n^(1/n) ) ) = lim( [ln(n)] / n ) = lim ( [1/n] / 1 ) 分子分母同时取导数 = lim (1/n) = 0 所以:
lim( n^(1/n) ) = e^0 = 1
扩展资料
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1、夹逼定理:
(1)当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域,有个符号打不出)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立
(2)g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么,f(x)极限存在,且等于A
不但能证明极限存在,还可以求极限,主要用放缩法。
2、单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。
下一篇
返回列表