求矩阵A={123 231 321}的所有值
- 教育综合
- 2024-01-14 17:44:17
求三阶矩阵A=(1 2 3, 3 1 2, 2 3 1)的特征值和特征向量 请详细说明一下特征向量的求法！
解题过程如下图：
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求三阶矩阵方法：
把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式。
行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘。如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2b3c2c3中找）
而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式，或等于第一列的每一个数乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符号之后再做求和计算。
计算行列式D=|123;231;321|的值
解题过程如下图：
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性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
利用初等变换求矩阵方程，AX=B,A=123，312，231.B=240，402，024，求X
AX=B, 则X=A-1B
下面使用初等行变换来求X
1 2 3 2 4 0
3 1 2 4 0 2
2 3 1 0 2 4
第2行,第3行, 加上第1行×-3,-2
1 2 3 2 4 0
0 -5 -7 -2 -12 2
0 -1 -5 -4 -6 4
第1行,第3行, 加上第2行×2/5,-1/5
1 0 15 65 -45 45
0 -5 -7 -2 -12 2
0 0 -185 -185 -185 185
第2行, 提取公因子-5
1 0 15 65 -45 45
0 1 75 25 125 -25
0 0 -185 -185 -185 185
第1行,第2行, 加上第3行×1/18,7/18
1 0 0 1 -1 1
0 1 0 -1 1 1
0 0 -185 -185 -185 185
第3行, 提取公因子-18/5
1 0 0 1 -1 1
0 1 0 -1 1 1
0 0 1 1 1 -1
得到矩阵
1 -1 1
-1 1 1
1 1 -1
