求正交线性替换X=PY，化二次型2x₂² +2x₁x₃为标准型
- 教育综合
- 2024-02-21 17:44:45
求正交变换 x=Py，化二次型为标准形。
^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=
[ 0 -1 1]
[-1 0 1]
[ 1 1 0]
解得特征值 λ=1，1, -2.
对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T.
前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T,
再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T,
第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T
则正交矩阵 P=
[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]
[-1/ √2 1/ √6 1/√3]
[ 0 2/ √6 -1/√3]
使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)，
即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.
扩展资料：
在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。
因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。
参考资料来源：百度百科-正交变换
求正交变换X=PY，化二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形. 我想问这个二次型的矩阵是怎么
f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为 a=[(0,1,1)t,(1,0,1) t,(1,1,0) t];下面将其对角化： 先求a的特征值，由|ke-a|=|(k,-1,-1) t,(-1,k,-1) t,(-1,-1,k) t |=（k-2）*（k+1）^2=0 解得：k=2或k=-1（二重）。 下求方程（ke-a）z=0的解向量 对特征值k=2，（2e-a）z=0解得特征向量z=(1，1，1)t， 单位化α1=(1/√3, 1/√3, 1/√3) t. 对特征值k=-1，（-e-a）z=0解得特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t， sch求正交变换x=py，将二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3，化为标准型
如下：
扩展资料
设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换。n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A*A=E。(A*表示A的共轭转置，E是单位矩阵)。
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面命题等价：
1、σ是正交变换；σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨。
2、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基。
3、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
