求线性方程组通解

求解线性方程组的通解

一、线性方程组概念

1、一般我们所说的线性方程组，一般有未知数（一次）、系数、等号等组成，如下所示：

2、线性方程组可以转化成矩阵形式，如下所示：

3、将等式右端，加入矩阵，形成增广矩阵能有效的求出线性方程组的解，如下：

二、方程组的通解

1、方程组还可以写成如下所示的向量形式：

2、方程组通解的概念：

3、求方程组通解的基本方法，一般有换位变换，数乘变换，倍加变换等，如下：

三、行阶梯方程

1、利用初等行变换求解以下方程组：

2、化简为行阶梯方程组：

3、行阶梯方程组概念，如下图所示。

四、经典例题——求通解

1、求解下题方程组的通解：

2、转换成，行阶梯方程组，并定义自由未知数，因此，可以得出该题通解，如下：

线性方程组的通解方法是什么？

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。

扩展资料：

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

线性方程组通解？

简单计算一下即可，答案如图所示

如何求解线性方程组的通解

通解可以运用特征线法，分离变量法和特殊函数法。

通解是线性方程组的解的一般形式，又称为一般解。

方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系（加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数）。

非齐次线性方程组解法

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

如何求线性方程组的通解呢？

通解可以运用特征线法，分离变量法和特殊函数法。

通解是线性方程组的解的一般形式，又称为一般解。

方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系（加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数）。

证明

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mr，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。